射影定理公式及推导公式今日报

商洛在线
2023-06-02 01:57:27
来源：互联网

导读想必现在有很多小伙伴对于射影定理公式及推导公式方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于射影定理公式及推导公...

想必现在有很多小伙伴对于射影定理公式及推导公式方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于射影定理公式及推导公式方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

【资料图】

定义

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

这三个式子叫做射影定理。[1]

验证推导

定义

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

这三个式子叫做射影定理。[1]

验证推导

①CD2=AD·BD；

②AC2=AD·AB；

③BC2=BD·AB；

④AC·BC=AB·CD

证明：①∵CD2+AD2=AC2，CD2+BD2=BC2

∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2

∴2CD2=AB2-AD2-BD2

∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2

∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2

∴2CD2=2AD·BD

∴CD2=AD·BD

②∵CD2=AD·BD(已证)

∴CD2+AD2=AD·BD+AD2

∴AC2=AD·(BD+AD)

∴AC2=AD·AB

③BC2=CD2+BD2

BC2=AD·BD+BD2

BC2=(AD+BD)·BD

BC2=AB·BD

∴BC2=AB·BD

④∵S△ACB=

AC×BC=

AB·CD

∴

AC·BC=

AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

射影定理公式及推导公式

影射定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

验证推导

证明：①∵CD²+AD²=AC²，CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

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